ยินดีต้อนรับ

ยินดีต้อนรับผู้ที่สนใจคณิตศาสตร์ทุกท่าน
Powered By Blogger

วันจันทร์ที่ 21 ธันวาคม พ.ศ. 2552

ทศนิยมและเศษส่วน



การเขียนเศษส่วนแท้ให้เป็นทศนิยม
เขียนเศษส่วนแท้ที่มีตัวส่วนเป็น 10 ให้เป็นทศนิยมได้โดยเขียนตัวเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่ง
เขียนเศษส่วน เขียนเศษส่วนแท้ที่มีตัวส่วนเป็น 100 มีตัวเศษสองตัวให้เป็นทศนิยมได้โดยเขียนตัวเศษ เป็นทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่งและที่สองตามลำดับ
เขียนเศษส่วนแท้ที่มีตัวส่วนเป็น 100 มีตัวเศษหนึ่งตัวให้เป็นทศนิยมได้ โดยเขียนตัวเศษเป็นทศนิยมตำแหน่งที่สอง และ 0 เป็นทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่ง
อ่านต่อไปนะจ๊ะ

ความสัมพันธ์ของทศนิยมและเศษส่วน

เขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10 หรือ 100 ในรูปทศนิยมให้คิดดังนี้
ทบทวนการเขียนทศนิยมและเศษส่วนแสดงจำนวนที่ระบายสีและแรเงา
เขียนทศนิยมหนึ่งจำแหน่งในรูปเศษส่วน
เขียนทศนิยมสองตำแหน่งในรูปเศษส่วน
เขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10 ในรูปทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง
เขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100 ในรูปทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง
เขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนหาร 10 ลงตัวในรูปทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง
เขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนหาร 100 ลงตัวในรูปทศนิยมสองตำแหน่ง
อ่าน

วันอาทิตย์ที่ 20 ธันวาคม พ.ศ. 2552

บทเรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยม

เรื่องระบบจำนวนเรื่องสมการและอสมการ วงกลม จำนวนและตัวเลขสมบัติของสามเหลี่ยมุมฉากเรื่องอัตราส่วนและร้อยละเรื่องเศษส่วนเรื่องทศนิยมเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติศูนย์รวมบทเรียนอื่น ๆ

รวมข้อสอบ o-net ป.6 ปี 2550

ข้อสอบ O-NET ชั้นประถมศึกษาปีที่6 (ป.6) ปีการศึกษา 2550
ข้อสอบวิชาภาษาไทย
ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์
ข้อสอบวิชาวิทยาศาสตร์

นักคณิตศาสตร์โลกที่น่าสนใจ

เธลิส
พีธากอรัส
ยูคลิด
อาร์คีมีดีส
ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์
แบลส์ ปาสคาล
เซอร์ ไอแซค นิวตัน
อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์
ErdOs : ชายผู้พิสวาทตัวเลข only

คณิตศาตร์กับการแก้ปัญหา

ปัญหาแบบมีโครงสร้าง
ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง
ปัญหาแบบกึ่งโครงสร้าง
การสร้างโมเดลสำหรับปัญหา
คำตอบที่ดีที่สุดและคำตอบที่ใกล้เคียง
การแทนปัญหา
ปัญหาการเดินทางของคนขายยา
ความซับซ้อนของปัญหา
ทางเลือกการตัดสินใจและกิ่งการตัดสินใจ
รูปแบบการคำนวณสำหรับกิ่งการตัดสินใจ
ทฤษฎีเกมกับการแก้ปัญหา

ค่าพาย

ค่าพาย
ตั้งแต่สมัยบาบิโลเนียประมาณ 950 ก่อนคริสตกาล นักคณิตศาสตร์สมัยนั้นให้ความสำคัญและสนใจค่าของ ซึ่งค่าของ นิยามจากอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
ในยุคสมัยแรกใช้ค่า ประมาณเท่ากับ 3 ชาวอียิปต์ใช้ค่า มีค่าเท่ากับ และใช้ค่า
จากการค้นพบแผ่น Papyrus ที่บันทึกวิชาคณิตศาสตร์สมัยอียิปต์ เมื่อราว 1650 ก่อนคริสตกาล กำหนดค่า ไว้เท่ากับ 4(8/9)2 = 3.16
อาร์คีมีดีสให้ค่า มีค่าโดยประมาณ 223/71 < < 22/7
ค่าของ จึงเข้ามาเกี่ยวข้องกับวิวัฒนาการความเจริญของมนุษย์โดยค่าที่ใช้ในยุคต่าง ๆ มีดังนี้
ชื่อนักคณิตศาสตร์
ปี ค.ศ.
ค่าที่ได้
พโธเลมี (Ptolemy)
c.150 AD
3.1416
ซู ซุง (Tsu Chung)
430 - 501 AD
55/113
Al Khwarizmi
คศ.800
3.1416
Al Kashi
คศ.1430
คำนวณได้ 14 ตำแหน่ง
Vite
1540 - 1603
คำนวณได้ 9 ตำแหน่ง
Roomen
1516 - 1615
คำนวณได้ 17 ตำแหน่ง
Van Ceulen
1600
คำนวณได้ 35 ตำแหน่ง
การคำนวณค่าของ มีส่วนเกี่ยวข้องกับวิชาเรขาคณิตและการคำนวณทางตรีโกณมิติอย่างมากเพราะเกี่ยวข้องกับเรื่องของมุม

เกมคณิตศาสตร์ 1

ในแวดวงของผู้ที่เกี่ยวข้องกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์โดยตรงแล้ว หลายคนคงจะเห็นตรงกันว่า มีอยู่วลีหนึ่งที่เป็นปัญหาสำหรับผู้ถามและผู้ตอบอยู่เสมอ ทั้ง ๆ ที่วลีนั้นเป็นวลีธรรมดา ๆ ที่ดูแล้วก็ไม่น่าจะเป็นปัญหากันเลย
"หาค่าไม่ได้"
เพียงวลีสั้น ๆ เท่านี้ แต่บางครั้งก็สร้างปัญหาได้เหมือนกัน ถ้านักเรียนจะเป็นผู้ตอบว่า "หาค่าไม่ได้ครับ"หรือ"หาค่าไม่ได้ค่ะ" หรือบางครั้งตอบสั้น ๆ ว่า "หาไม่ได้"
ก่อนจะคุยถึงคำ ๆ นี้ เรามาลองดูเกมที่เป็นปัญหาที่น่าคิดกันหน่อยก่อนก็แล้วกัน
คุณหาได้หรือเปล่า !
เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งให้ ให้คุณเขียนจำนวนนั้นใหม่ ในรูปของผลบวกของจำนวนเต็มต่าง ๆ
ที่เรียงติดกัน (ซึ่งอาจจะเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวน 2 จำนวน ที่อยู่ติดกัน หรือมากกว่า 2 จำนวนก็ได้) ดังตัวอย่าง
เมื่อกำหนด 7 ให้จะเขียนได้เป็น 3 + 4
15 จะเขียนได้เป็น 4 + 5 +6 หรือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ก็ได้
21 จะเขียนได้เป็น 6 +7 + 8
ปัญหาประเภทนี้เป็นปัญหาที่ครูอาจจะใช้สอดแทรกในระหว่างการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพื่อเป็นการเปลี่ยนบรรยากาศบ้างก็คงจะดีนะครับ บางทีในชั่วโมงที่นักเรียนว่าง แทนที่จะให้นักเรียนเล่นกันส่งเสียงดัง ครูอาจจะนำเกมปัญหานี้ไปใช้เพื่อลดพฤติกรรมที่ไม่พึงประสงค์เสียบ้างก็ยังได้ แต่ก็คงต้องเลือกตัวปัญหาที่ต้องใช้ความคิดกันหนัก ๆ หน่อย เช่น 22 48 80 เป็นต้น ซึ่งคงไม่ลำบากสำหรับผู้ตั้งโจทย์ปัญหาเท่าใดนัก
แต่ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้ครับ" หรือ "หาไม่ได้ค่ะ" แล้วจะทำอย่างไร ถ้าเราจะฝึกหัดให้นักเรียนเป็นคนช่างคิด ก็คงจะไม่ปล่อยให้คำถามนี้ผ่านไปเฉย ๆ คงจะต้องมีการถามกันต่อไปอีกนิดหน่อยว่า ที่ว่า "หาไม่ได้" นั่น หมายถึงอย่างไร เพราะบางทีคำว่า "หาไม่ได้" นั้นหมายความว่า นักเรียนจนปัญญาเสียแล้ว คิดไม่ออกว่าจะหาด้วยวิธีไหนดี แต่บางครั้งก็ไม่ได้หมายความว่าอย่างนั้นเสมอไป อาจจะหมายความว่า ไม่มีคำตอบก็ได้ และที่ว่าไม่มีคำตอบก็ไม่ได้หมายความว่า นักเรียนคิดคำตอบไม่ออกบอกไม่ถูก แต่หมายความว่า คำตอบไม่มี ซึ่งยิ่งฟังก็ยิ่งยุ่ง
ลองมาดูตัวอย่างก็แล้วกัน คงพอทำให้หายยุ่งได้บ้าง
"tan 90o มีค่าเท่าไร"
คำตอบคงเป็นทำนองนี้ หาค่าไม่ได้.... ไม่มีค่า... หาไม่ได้... ซึ่งหมายรวมไปถึง ไม่มีความหมาย หรือในที่สุดอาจมีผู้ตอบว่า ไม่นิยาม (นักเรียนหลักสูตรใหม่คงไม่ตอบว่า มีค่ามากมายมหาศาล หรือ อินพินิตี้ (infinity, ) นะครับ ถ้าตอบมา เห็นทีจะต้องมีคำถามต่อไปเป็นชุด ๆ แน่)
"ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 2) และ (1, 5) มีค่าเท่าใด"
"จำนวนนับที่มากที่สุดคือจำนวนใด"
"10 หารด้วย 0 เท่ากับเท่าใด"
"จำนวนตรรกยะที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 7 คือจำนวนใด"
คำตอบที่ได้ก็คงจะเป็นแบบเดียวกับข้างต้น ซึ่งมีความหมายว่า "ไม่มีคำตอบ"
แต่ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้" หรือ "หาค่าไม่ได้" ในอีกความหมายหนึ่งที่ว่ายังคิดไม่ออก หรือหมดปัญญาเสียแล้ว ก็คงจะต้องชี้แนะกันต่อไป
ประเด็นที่สำคัญก็คือ ถ้านักเรียนตอบว่า "หาไม่ได้" ในความหมายข้างต้นที่ยกตัวอย่างมา นักเรียนควรจะบอกเหตุผลตามหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ได้ด้วย จึงจะนับว่ามีประโยชน์
ลองมาคิดเกมปัญหากันอีกสักปัญหานะครับ
"จงหาจำนวนคี่มา 5 จำนวนซี่งเมื่อรวมกันแล้ว ได้ 64"
หาได้หรือยังครับ ยากไปไหมเอ่ย
มีใครอยากจะตอบว่า "หาไม่ได้"บ้างหรือเปล่า
ถ้าอยากตอบว่า "หาไม่ได้" เพราะยังคิดไม่ออกหรือคิดไม่ได้ ก็ลองหยุดคิดสักพัก แล้วค่อยพยายามใหม่อีกครั้งนะครับ
แต่ถ้าตอบว่า "หาไม่ได้" เพราะมันเป็นไปไม่ได้ หรือ เพราะว่าไม่มีคำตอบ ก็ต้องขอถามต่อว่า มีเหตุผลอย่างไรที่ตอบว่า ไม่มีคำตอบ หรือไม่มีทางทำได้
เหตุผลที่คุณคิดเป็นอย่างนี้หรือเปล่า
เนื่องจากสิ่งที่ต้องการให้หาคือจำนวนคี่ 5 จำนวน ที่รวมกันแล้วได้ 64
แต่เราทราบแล้วว่า "จำนวนคี่ใด ๆ 2 จำนวน รวมกันผลบวกย่อมเป็นจำนวนคู่ "และ "จำนวนคู่ใด ๆ 1 จำนวน รวมกับจำนวนคี่ใด ๆ 1 จำนวน ผลบวกต้องเป็นจำนวนคี่"
กฎเกณฑ์ทั้ง 2 ประการนี้คงจะเห็นได้ชัดเจน ถ้าจะให้พิสูจน์ได้ไม่ยากนัก
ดังนั้น เมื่อนำจำนวนคี่จำนวนที่ 1 รวมกับจำนวนคี่จำนวนที่ 2 ผลรวมย่อมเป็นจำนวนคู่ และเมื่อรวมกับจำนวนคี่จำนวนที่ 3 ผลรวมย่อมเป็นจำนวนคี่ และเมื่อรวมกับจำนวนที่ 4 ผลรวมก็จะเป็นจำนวนคู่ ซึ่งเมื่อรวมกับจำนวนที่ 5 ผลรวมย่อมต้องเป็นจำนวนคี่เสมอ ซึ่งไม่มีโอกาสที่จะเท่ากับ 64 ซึ่งเป็นจำนวนคู่ได้เลย
เกมปัญหาทำนองนี้ ครูผู้สอนอาจจะนำไปให้นักเรียนลองคิดดูเล่น ๆ หรือใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับวลี "หาค่าไม่ได้" ก็ได้ โดยอาจจะบอกนักเรียนว่า ถ้าใครคิดได้ จะเพิ่มคะแนนเก็บให้สัก 10 คะแนน นักเรียนก็อาจจะอยากคิดกันบ้างกระมัง และถ้านักเรียนบอกเหตุผลได้ การที่จะให้ 10 คะแนนก็ไม่น่าเสียดายใช่ใหม่ครับ
* ดนัย ยังคง, วิทยากรสาขาวิชาคณิตศาสตร์
ที่มา: วารสาร สสวท. ปีที่ 12 ฉ.3 เมย. - มิย. 2527

เกมอะไรเอ๋ย

คนจำนวนไม่น้อยเมื่อได้ยินคำว่าคณิตศาสตร์ มักจะนึกถึงตัวเลขที่ยุ่งยาก หรืออะไรที่ยากและน่าเบื่อ บ้างก็ส่ายหน้าไม่อยากพูดถึง บ้างก็บอกว่าเป็นอะไรที่ไม่อยากเข้าใกล้ แต่อย่างไรก็ตาม ในชีวิตประจำวันของเราทุกคน ไม่มีใครหนีไปไกลจากคณิตศาสตร์ได้เลย ตั้งแต่ตื่นนอนตอนเช้าจนกระทั่งเข้านอนตอนกลางคืน แม้กระทั่งเวลาหลับ บางคนยังต้องพึ่งคณิตศาสตร์ตั้งเวลานาฬิกาปลุกให้ตื่น เพราะเกรงว่าจะไปทำงานสาย หรือไปโรงเรียนสาย บางคนยิ่งไปกว่านั้น นอนหลับก็ยังฝันเห็นตัวเลข หรือถ้าไม่ฝันเห็นตัวเลขก็ยังพยายามตีความฝันออกเป็นตัวเลขอีก
ในเมื่อเราทุกคนจะต้องเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ไม่มากก็น้อย อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ปัญหาก็คือ ทำอย่างไรจึงจะให้คนทั่วไปมองคณิตศาสตร์เป็นเรื่องน่าสนใจ น่าศึกษา หรืออย่างน้อยก็มีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ เวลามีใครพูดถึงคณิตศาสตร์ก็คิดถึงอะไรที่น่าใจบ้าง
กิจกรรมอันหนึ่งที่เป็นที่ยอมรับว่ามีผลต่อการสร้างเจตคติที่ดีในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ก็คือ การใช้เกมหรือโจทย์ชวนคิดต่าง ๆ
ต่อไปนี้เป็นอะไรที่คิดว่าน่าสนใจ และสามารถคิดได้ทำได้ไม่ยาก จึงเลือกมาให้คิดกันเพลิน ๆ
เกม (1)
เกม (2)
เกม (3)
เกม (4)
นอกจากเกมข้างต้นแล้ว ยังมีเกมเกี่ยวกับจำนวนและตัวเลขที่น่าสนใจอีก ได้แก่ เกม (5), (6), (7)
สรุป
การได้เล่นเพลิน ๆ คิดเพลิน ๆ กับเกมหรือโจทย์ชวนคิดเชิงคณิตศาสตร์ จะช่วยกระตุ้นความสนใจในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ทุกระดับชั้น และทุกระดับความสามารถของนักเรียน บางเกมอาจใช้ประกอบกิจกรรมการเรียนการสอน เพื่อฝึกทักษะเสริมสร้างความเข้าใจ บางเกมฝึกให้เป็นคนช่างสังเกต คิดอย่างมีเหตุผลและรอบคอบ บางเกมเพื่อความสนุกสนานเพลิดเพลินเท่านั้น แต่อย่างไรก็ตาม บนความสนุกสนานเพลิดเพลิน อาจแฝงไว้ด้วยความรู้และเนื้อหาสาระ ทั้งนี้ทั้งนั้นขึ้นอยู่กับผู้สอนว่าจะสรุปหรือทบทวนให้นักเรียนได้หรือไม่ หรือปล่อยให้นักเรียนเล่นไปเพลิน ๆ อย่างเดียวไม่คิดอะไร

บทความที่น่าสนใจ

ครูผู้สอนคงจะมีปัญหาที่ต้องถามตนเองว่า จะสอนคณิตศาสตร์ เพื่อให้ผู้เรียนนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างไร ก่อนอื่น เราคงต้องพิจารณาคำว่า "คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน" คำนี้น่าจะหมายถึงอย่างอะไร คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน น่าจะหมายถึง การใช้วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ในการแก้ไขปัญหาบางประการในชีวิตประจำวัน เช่น ถ้านักเรียนจะเดินทางจากจังหวัดแพร่มากรุงเทพฯ อยากจะทราบว่า ค่าใช้จ่ายในการเดินทางโดยทางรถไฟ กับรถยนต์โดยสารปรับอากาศ เมื่อรวมค่ารถรับจ้างจากสถานีรถไฟ หรือสถานีขนส่งสายเหนือที่นักเรียนจะต้องจ่ายแล้ว ควรจะเลือกเดินทางด้วยวิธีใดดี ปัญหาที่กล่าวมานี้ใช้การบวกในการแก้ปัญหา
ตัวอย่างของปัญหาที่ใช้การคำนวณร้อยละใน การแก้ปัญหา เช่น ถ้านักเรียนคนหนึ่ง ไปแข่งขันตอบปัญหาของหนังสือรายสัปดาห์ฉบับหนึ่ง ได้เงินรางวัลมา 50,000 บาท และจะใช้เงินจำนวนที่ได้ในอีก -1 เดือนข้างหน้า จีงคิดว่า ถ้านำเงินจำนวนนี้ไปฝากธนาคารไว้ก่อน โดยฝากในบัญชีเงินฝากประจำประเภท -1 เดือน ได้ดอกเบี้ยร้อยละ 8.5 แต่จะต้องเสียภาษี 15% ต่อปี กับถ้าฝากเงินแบบออมทรัพย์ ได้ดอกเบี้ยร้อยละ 6.75 ต่อปี นักเรียนควรจะฝากแบบใดจึงจะได้ดอกเบี้ยมากกว่ากัน เป็นต้น ปัญหาในชีวิตประจำวันในลักษณะดังกล่าว ครูผู้สอนอาจจะให้โจทย์ปัญหา และให้นักเรียนช่วยกันหาข้อมูลที่จะมาใช้แก้ปัญหา (เช่น หาอัตราดอกเบี้ยเงินฝากของธนาคาร) แล้วมาช่วยกันหาคำตอบในชั่วโมงกิจกรรม หรือครูให้เป็นการบ้านพิเศษ ก็น่าจะเป็นวิธีการที่จะทำให้นักเรียนได้มองเห็น ประโยชน์ของคณิตศาสตร์ได้ โดยใช้คำถามทำนองนี้เป็นเครื่องมือ รวมทั้งจะเป็นการกระตุ้นให้นักเรียนเกิดความสนใจในการเรียนคณิตศาสตร์มากขึ้นด้วย
ตัวอย่างการจัดกิจกรรมการสอนคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน โดยยกตัวอย่างจากเรื่องราวที่เกี่ยวข้องกับตัวนักเรียน
โจทย์คำถามในลักษณะข้างต้น เป็นตัวอย่างในการที่จะเชื่อมโยงการแก้ปัญหาบางประการ ในชีวิตประจำวัน รวมทั้งเป็นการฝึกให้นักเรียนรู้จักวางแผนการทำงาน โดยใช้คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ โจทย์ในทำนองดังกล่าวนี้ มีหลายเรื่องที่ครูผู้สอนจะนำมาใช้ได้ ข้อที่ควรคำนึงถึงก็คือ เวลาจะให้โจทย์ในลักษณะนี้ ครูผู้สอนควรฝึกให้นักเรียนรู้จักไปหาข้อมูลมาด้วยตัวเอง โดยครูอาจจะแนะแหล่งที่จะไปหาข้อมูล และเมื่อนักเรียนแก้ปัญหาโจทย์ได้แล้ว ครูควรสรุปคำถาม และควรมีข้อเสนอแนะอื่น ๆ เพิ่มเติม เพื่อช่วยให้นักเรียนเกิดความรู้ความคิดกว้างขวางขึ้น นอกเหนือจากการมีความรู้แต่เพียงการเรียนในชั้นเรียน ทั่งนี้ ขึ้นอยู่กับการพิจารณาของครูผู้สอนว่า มีความพร้อมหรือไม่ และกิจกรรมดังกล่าวเหมาะสมกับชั้นเรียนของท่านหรือไม่ เพียงใดด้วย

เกมคณิตศาสตร์

น้องส้มโอมีอายุกี่ปี
เด็กหญิงส้มโอและพี่น้องของส้มโอ มีอายุเท่ากับด้านของรูปเหลี่ยมต่าง ๆ ข้างล่างนี้ ส้มโอและพี่น้องของส้มโอมีทั้งหมด 7 คน ส้มโอเป็นคนกลาง นั่นคือส้มโอมีพี่ 3 คน และน้อง 3 คน น้อง ๆ ช่วยกันดูซิว่ารูปใด แทนส้มโอ หาได้แล้วระบายสีให้ส้มโอด้วย

เกมคณิตศาสตร์

มาช่วยกันสร้างเกมและช่วยกันเผยแพร่เยอะๆนะค่ะ